互质数是什么?互质数是什么意思举例(互质数是什么意思两个分数是互质数)

作者:超级小飞侠
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质因数、互质数和分解质因数

 

一.概念描述

现代数学:如果一个整数的约数(因数)是质数,就称这个约数(因数)为该数的一个质因数。把一个合数表示成质因数的乘积形式,叫作分解质因数。作为特例,把一个质数写成质因数乘积形式就是这个质数的本身。

小学数学:2004年北京版教材第10册的第57页指出:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数叫作这个合数的质因数。如12=2x2x3,2和3都是12的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫作分解质因数。

同册教材的第62页指出:如果两个数的最大公约数(公因数)是1,那么这两个数互质。

2013年人教版教材五年级下册的第83页提出:公因数只有1的两个数,叫作互质数。

二.概念解读

①互质中的“两个数”是指除0以外的所有自然数。“公因数只有1”也可以理解成“最大公因数是1”。另外,“公因数只有1”不能误说成“没有公因数”。

②三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况:一种是这些成互质数的自然数是两两互质的,如2、3、5,它们的最大公因数是1,所以它们是互质的。而且这当中2和3互质,3和5互质,2和5也互质,所以它们是两两互质。另一种是这些成互质数的自然数不是两两互质的。如6、8、9,它们的最大公因数也是1,所以它们也是互质的。但这当中6和8不互质,6和9也不互质,所以它们不是两两互质。

③互质有以下几种情况:

a. 两个不相同的质数一定是互质数,如2与5、11与19。

b.相邻的两个自然数一定是互质数,如8与9。

c.相邻的两个奇数一定是互质数,如7与9。

d.大数是质数的两个数一定是互质数,如31与18。

e. 小数是质数,大数不是小数的倍数的两个数一定是互质数,如7和22。

f. 2和任何奇数一定互质,如2和87。

g.1和任何非0自然数一定互质,如1和4

④分解质因数的方法。

分解质因数可以用枝形的形式来求。如把24分解质因数:

24 24 24

/\ /\ /\

1 12 3 8 4 6

/\ /\ /\/\

2 6 2 4 2 2 2 3

/\ /\

2 3 2 2

以上三种方法都可以。通常要把相乘的质因数,从小到大写出来,即24=2x2x2x3。

分解质因数也可以用短除法来求。方法是:先用一个能整除这个合数的最小的质数(通常从最小的开始)去除,得出的商如果是质数,就把除数和商写成相乘的形式:得出的商如果是合数,就照上面的方法继续除下去,直到得出的商是质数为止,然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。

三.教学建议

①因数、质数、互质数、质因数和分解质因数等概念学生容易混淆,

正确地区分这几个概念,对掌握数的整除这部分基础知识,是十分重要的。

因数和质因数:因数可以是质数,也可以是合数,还可以是1。如1x3=3,1和3都是3的因数:2x6=12,2和6都是12的因数。质因数要求因数本身必须是质数。如12=2x2x3,2和3都是12的质因数。

质数、质因数和分解质因数:质数是指一个数,比如“2是质数,19是质数”等。质因数虽然也是指一个数,但它是针对所分解的合数而说的,比如“15=3×5,3是15的质因数,5也是15的质因数”。如果离开15,孤立地说"3是质因数,5是质因数”则是不妥当的。因此,质因数具有双重身份:第一必须是质数;第二必须是另一个数的因数。分解质因数是把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,分解的过程就是求出这些质因数的过程。

互质数与质数、质因数都不同,它不是指一个数,而是指除了1以外,再没有其他公因数的两个或两个以上的数。如4和7的最大公因数是1,所以4和7是互质数,或者说4和7互质,而不能说4是互质数,7是互质数。互质的两个数不一定是质数,如1和4互质,8和9互质,但1、4、8、9这四个数都不是质数。

由此可见,这些概念之间既有联系,又有区别,要帮助学生透彻理解和正确区分,才能防止混淆。

②用短除法分解质因数,是学生学习用短除法求几个数的最大公因数和最小公倍数的基础,教学中可让学生学会用短除法分解质因数。

四.推荐阅读

(1)《小学数学知识树》(刘开云、李燕燕,北京大学出版社,2008)

该书第一部分《数与运算)的第二章《数的整除)介绍了有关质因数、互质和分解质因数的如识。

(2)《对“因数与倍数”教学内容的再思考》(丁国忠,(小学教学》,2008年第2期)

该文分析了这部分内容中相关概念之间的紧密联系以及本部分内容的学习对后续数学学习的重要意义。

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